Una formula sorprendente
Recentemente mi sono imbattuto in modo del tutto casuale in un problema che non avevo mai considerato.
È ben nota la formula che esprime la sommatoria dei primi n numeri naturali:
Ma finora non mi ero mai chiesto quale poteva essere la soluzione del seguente problema, più generale: determinare l'espressione
che fornisce la somma delle k-esime potenze dei primi n numeri naturali, con k intero maggiore di 0.
Nel più genuino spirito pionieristico mi sono buttato a determinare tale espressione per i primi valori di k (k=2,3,4) e i risultati sono stati:
A questo punto il puzzle della generalizzazione, invece di semplificarsi, si complica.
Non vi è traccia, infatti, di un filo che leghi fra loro le espressioni precedentemente trovate.
La realtà, devo ammetterlo, è che tale problema è ben al di sopra di un approccio così superficiale.
Come arrivo ad affermare ciò?
Non da solo, in ogni caso.
È Eulero, che non smette di stupirmi e al tempo stesso di affascinarmi,
che arriva in mio aiuto grazie al suggerimento di un buon amico telematico,
Andrea Ossicini, che come e più di me coltiva da tempo una grande passione
per la matematica in generale e per la teoria dei numeri in particolare.
Ma di lui penso che avrò modo di parlare meglio in futuro.
La soluzione, comunque, l'aveva già trovata Jacob Bernoulli, antecedente di Eulero, nella sua Ars conjectandi (pubblicata postuma nel 1713).
Ed è Eulero che cita tale formula introducendo i numeri di Bernoulli, che in essa compaiono.
La formula è la seguente:
Oppure, in forma decisamente più compatta:
Dove i numeri di Bernoulli b, che per semplicità non spiego, valgono:
b0=1, b1=1/2, b2=1/6, b2m-1=0 per m maggiore di 0, e sempre per m maggiore di 0, b2m=-1/30, 1/42, -1/30, 5/66, -691/2730, ... per valori crescenti di m.
Sorprendente! Grazie ai numeri di Bernoulli, è dunque possibile esprimere tramite un'unica formula le somme di potenze dei numeri naturali.
Chi avrebbe mai potuto sospettarlo? Eppure lo sapevano già nel diciassettesimo secolo...
Scrivimi!
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