IL TEOREMA DI GÖDEL
Come ogni branca della scienza, così anche la matematica ha avuto nella sua
storia dei momenti 'forti' per la creazione di nuove teorie o per la
formulazione di nuovi teoremi destinati a illuminare, se non a sconvolgere i
risultati raggiunti fino a quel punto da questa scienza.
Nel secolo attuale la scoperta più importante è certamente da attribuire a
Kurt Gödel (1906-1978), un matematico austriaco emigrato negli Stati Uniti e
membro dell'Institute for Advanced Studies di Princeton, dove gli fu assegnato
il Premio Einstein nel 1951. Gödel è poco conosciuto: il suo carattere modesto
e l'altissimo grado di astrattezza delle sue ricerche non l'hanno certo portato
alla ribalta della popolarità; tuttavia qualcuno non esita a definirlo
l'Einstein della matematica.
Il campo della matematica in cui Gödel svolse la sua ricerca era quello
logico-formale; nel 1931, all'età di 25 anni, pubblicò su un periodico
scientifico tedesco un lavoro relativamente breve dal titolo poco rassicurante:
"Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei PRINCIPIA MATHEMATICA e di
sistemi affini" (i PRINCIPIA MATHEMATICA sono il monumentale trattato di A.N.
Whitehead e Bertrand Russell sulla logica della matematica) in cui egli
sorprendentemente affermava con una geniale dimostrazione l'indimostrabilità
della coerenza di un qualunque sistema matematico, ovvero l'impossibilità di
costruire all'interno della matematica sistemi i cui principi, o assiomi,
siano non-contraddittori fra loro.
Questo teorema sembra risolvere negativamente il secondo dei problemi
proposti da Hilbert, un altro grande matematico dell'inizio del secolo, in
cui egli si chiedeva se fosse possibile dimostrare che gli assiomi
dell'aritmetica sono compatibili, ossia che partendo da essi e procedendo
attraverso un numero finito di passaggi logici non si può mai giungere a
risultati contraddittori (proprio nel tentativo di inquadrare definitivamente
il problema erano venuti alla luce i PRINCIPIA, il più elaborato tentativo
mai fatto prima di allora di sviluppare le nozioni fondamentali
dell'aritmetica a partire da un insieme ben definito di assiomi).
In sostanza, cosa afferma il teorema di Gödel? Due cose molto importanti: in
primo luogo, come già detto, l'indimostrabilità della coerenza di un sistema
matematico basato su 'regole' logiche; in secondo luogo l'incompletezza dei
PRINCIPIA o di qualsiasi sistema nel cui ambito possa venir sviluppata
l'aritmetica; in altre parole, l'esistenza di proposizioni aritmetiche
logicamente vere le quali non possono essere dedotte dall'insieme.
Questo punto merita un'illustrazione.
La matematica abbonda di proposizioni
generali, alle quali non si è mai trovata un'eccezione, che hanno resistito
a tutti i tentativi di dimostrazione. Un esempio classico è noto come teorema
di Goldbach, e afferma che ogni numero pari è somma di due numeri primi.
Non si è mai trovato un numero pari che non fosse la somma di due numeri primi,
ma nessuno è riuscito a dimostrare questa congettura. Ciò detto, supponiamo che
modificando gli assiomi dell'aritmetica o aggiungendone altri il teorema di
Goldbach giunga ad essere dimostrato; i risultati di Gödel provano che questo
non porterebbe alcun rimedio sostanziale, perché vi sarebbero sempre altre
verità aritmetiche non deducibili dagli assiomi di partenza.
Vediamo ora di soffermarci brevemente su come Gödel è riuscito a raggiungere le sue
conclusioni.
Egli ha innazitutto descritto un calcolo formalizzato nel quale tutte le ordinarie
notazioni aritmetiche possono essere espresse, insieme con le relazioni fondamentali.
Per fare ciò ha costruito una classe di simboli che costituiscono il "vocabolario
fondamentale". Assegnato un numero diverso ad ogni simbolo, è possibile in conseguenza assegnarne
uno anche a tutte le formule e dimostrazioni. E così si realizza la
cosiddetta "numerazione di Gödel".
Mediante un procedimento di diagonalizzazione (simile a quello che era stato
in precedenza usato da Cantor per la mirabile dimostrazione che portò a
diversificare il concetto di infinito) che sfrutta tale numerazione, egli
arriva a dimostrare che una ben precisa proposizione G, pur essendo vera,
è dimostrabile solo se lo è anche la sua negazione, e in conclusione non
è dimostrabile all'interno del sistema formale usato.
È interessante a questo punto tentare di analizzare le conseguenze del suo teorema.
In campo logico-matematico lo si potrebbe interpretare come un invito a
disperare; ma i progressi ottenuti negli ultimi decenni hanno mostrato che esso
ha finito con lo stimolare, più che attenuare, la creatività matematica.
Ma il teorema di Gödel ha implicazioni più ampie: nel campo della cibernetica,
ad esempio. Le sue conclusioni fanno sorgere la questione se sia possibile
costruire una macchina calcolatrice che faccia concorrenza alla mente umana.
Le macchine calcolatrici odierne posseggono un insieme fissato di direttive
di tipo assiomatico-formale e forniscono risposte operando in maniera
discontinua, ogni passaggio essendo controllato dalle direttive immagazzinate.
Ma come Gödel dimostrò, vi sono innumerevoli problemi che esulano dalle
possibilità di un metodo assiomatico fissato; la stessa prova di Gödel
sarebbe impossibile senza uscire dal piano matematico per affrontare il
problema da un punto di vista cosiddetto 'metamatematico'; e allora?
È indubbio che non vi è alcuna prospettiva immediata di rimpiazzare la
mente umana con un robot.
Ma forse, sembra dirci Gödel, tale evento è destinato a non verificarsi mai...
La mente umana riesce in ciò che ad un calcolatore sembrerebbe assurdo, ad
esempio a dimostrare l'indimostrabilità: non verrebbe allora da credere che
nella mente umana debba esistere qualcosa che fornisce criteri assoluti di
conoscibilità, 'incarnati' nei circuiti logici del cervello?
Qualcosa che fa riferimento direttamente all' infinito... sono solo ipotesi,
è ovvio; ma è interessante, e profondamente nuovo, che questi spunti
vengano da parte di una branca della scienza come la matematica; e ciò, se
non altro, dimostra che anche essa può a suo modo aprirsi sulla ricerca del
'senso' della realtà umana.
Bibliografia
- E. Nagel & J.R. Newman, La prova di Gödel (New York, 1958) - ISBN 88-339-0309-5
- C.B. Boyer, Storia della matematica (New York, 1968) - ISBN 88-04-33431-2
- P. Pasolini, Il teorema di Gödel di fronte alla logica, alla cibernetica e all'assoluto (Roma, 1978) -
Rivista "Nuova Umanità" n. 1, Ed. Città Nuova, Roma
- Douglas Hofstadter - Gödel, Escher, Bach: un'Eterna Ghirlanda Brillante - ISBN 88-459-0755-4
- Italo Aimonetto - Il teorema di Gödel e le antinomie negative - Rivista "Filosofia" - Torino
- Italo Aimonetto - Il fondamento del teorema di Gödel: da Peano a Frege e Russell - Rivista "Filosofia" - Torino
- Italo Aimonetto - Il teorema di Gödel e le formule aperte - Rivista "Filosofia" - Torino
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